백준 1956 - 운동

 

 

문제 설명

V개의 마을과 E개의 도로로 구성되어 있는 도시가 있다. 도로는 마을과 마을 사이에 놓여 있으며, 일방 통행 도로이다. 마을에는 편의상 1번부터 V번까지 번호가 매겨져 있다고 하자.

당신은 도로를 따라 운동을 하기 위한 경로를 찾으려고 한다. 운동을 한 후에는 다시 시작점으로 돌아오는 것이 좋기 때문에, 우리는 사이클을 찾기를 원한다. 단, 당신은 운동을 매우 귀찮아하므로, 사이클을 이루는 도로의 길이의 합이 최소가 되도록 찾으려고 한다.

도로의 정보가 주어졌을 때, 도로의 길이의 합이 가장 작은 사이클을 찾는 프로그램을 작성하시오. 두 마을을 왕복하는 경우도 사이클에 포함됨에 주의한다.

https://www.acmicpc.net/problem/1956

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제한 사항

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풀이

문제를 요약하면, 주어진 그래프에 최소 길이의 사이클을 찾는 문제이다.

사이클을 찾는 알고리즘은 다양하다.

• 유니온-파인드
• 위상정렬
• 플로이드
• 플로이드-와샬

우선, 유니온-파인드는 무방향 그래프에서만 사이클은 판별할 수 있다.

위상정렬은 방향 그래프에서도 사이클을 판별할 수 있다.

하지만, 사이클의 길이를 구해내기는 쉽지 않다.

특히, 특정 지점에서 시작하는 사이클을 구해내는 것도 쉽지 않다.

 

플로이드 알고리즘은 링크드 리스트에서 사이클을 찾아내는 알고리즘이다.

즉, 하나의 노드의 진출 차수가 1이어야 한다.

제약 사항이 있지만, 효율적인 알고리즘이다.

우선, 두 개의 포인터(a, b)를 통해 노드를 탐색한다.

한 번의 라운드에 a는 한 칸씩, b는 두 칸씩 이동한다.

만약 두 포인터가 이동하다 어떠한 지점에서 만난다면 해당 그래프는 사이클이 존재하다는 뜻이다.

그리고, 사이클의 시작점과 길이 역시 구해낼 수 있다.

a와 b가 만났다면 a를 다시 시작점으로 보낸 뒤 한 칸씩 이동하여 다시 만나는 지점이 사이클의 시작점이 된다.

길이를 구하기 위해서는 a는 사이클의 시작점에 위치시킨 뒤, b를 한 칸씩 전진시켜 보는 것이다.

사이클을 돌아 다시 시작점에 도착한다면 해당 길이가 사이클의 길이가 된다.

수도코드는 다음과 같다.

//사이클 판별
//x: 리스트의 시작점
a = advance(x);
b = advance(advance(x));
while(a != b)
{
	a = advance(a);
    b = advance(advance(b));
}


//사이클 시작점
a = x;
while(a != b)
{
	a = advance(a);
    b = advance(b);
}
first = a;


//사이클 길이
b = advance(a);
while(a != b)
{
	b = advance(b);
    length++;
}

해당 알고리즘은 $O(N)$만에 사이클을 찾아낼 수 있지만, 진출 차수에 대한 제약이 있어 해당 문제에서는 사용할 수 없다.

 

해당 문제의 풀이 방법은 플로이드-와샬을 사용하는 것이다.

플로이드-와샬을 통해 모든 노드 간의 거리를 계산한다.

만약, 사이클이 존재한다면 시작한 노드로 다시 도착하여 최단 거리를 갱신할 것이다.

즉, 자신에서 시작하여 자신으로 돌아와 거리를 갱신하는 경우가 있는지 확인하면 된다.

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전체 코드

#include <stdio.h>
#include <string>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <cmath>
#include <climits>
#include <queue>
#include <map>
#include <unordered_map>
#include <set>

using namespace std;

int V, E;
const int MAX = 400 * 10'000 + 1;

int main()
{
    ios_base::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);

    cin >> V >> E;

    vector<vector<int>> graph(V+1, vector<int>(V+1, MAX));
    int ans = MAX;

    for (int i = 0; i < E; i++)
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        graph[a][b] = c;
    }

    for (int k = 1; k <= V; k++)
    {
        for (int i = 1; i <= V; i++)
        {
            for (int j = 1; j <= V; j++)
            {
                graph[i][j] = min(graph[i][j], graph[i][k] + graph[k][j]);
            }
        }
    }

    for (int i = 1; i <= V; i++)
    {
        ans = min(ans, graph[i][i]);
    }

    if (ans == MAX) ans = -1;
    cout << ans;
 
    return 0;
}

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